Czy okrąg może być kwadratem?

To chyba prowokacyjne pytanie. Właściwie należałoby słofmułować je nieco inaczej. Może tak byłoby lepiej: czy okrąg musi mieć taki kształt, do jakiego się przyzwyczailiśmy? A może jeszcze inaczej: dlaczego okrąg ma kształt taki, do jakiego się przyzwyczailiśmy? Sróbuję na te pytania odpowiedzieć

DEFINICJA OKRĘGU:
Zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, jednakowo oddalonych od ustalonego punktu, zwanego środkiem okręgu.
Nie powiem nic specjalnie nowego, gdy zauważę, że na rysunku obok ten czerwony punkcik to własnie środek okręgu; niebieską zaś linią zaznaczono wszystkie punkty jednakowo od niego oddalone O ile? O tyle, ile wynosi długość czarnego odcinka 🙂 Tak, to niebieskie, to właśnie okrąg — do takiego jego wyglądu jesteśmy przyzwyczajeni.

Wróćmy jeszcze na chwilę do definicji okręgu. Odnajdziemy tam trzy pojęcia: zbiór, punkt i jednakowo odległe. Dwa pierwsze, to tzw. pojęcia pierwotne; pierwsze — teorii mnogości (dział matematyki poświęcony zbiorom), drugie — geometrii. Poświęćmy trochę więcej uwagi trzeciemu — jednakowo oddalone, które wiąże się z mierzeniem odległości. A co może być ciekawego w mierzeniu odległości? Okazuje się, że bardzo wiele! Zaraz się o tym przekonamy.

CO TO JEST ODLEGŁOŚĆ?
Matematycy, którzy uwielbiają wprost formalne zapisy (to pomaga im w prowadzeniu rozumowań) mówią, że odległość, to funkcja (tutaj oznaczymy ją literą „d”) o następujących własnościach:

1. d(x,y) ≥ 0
2. d(x,x) = 0
3. d(x,y) = d(y,x)
4. d(x,z) + d(z,y) ≥ d(x,y)

No, no! Nie wpadaj w panikę! To co wyżej napisano możnaby na ludzki 🙂 język przetłumaczyć tak:
1. odległość nie może być liczbą ujemną;
2. odległość od punktu x do tego samego punktu zawsze wynosi zero;
3. odległość od punktu x do punktu y jest taka sama jak od y do x (dzieci mówią w skrócie „taka sama droga”)
4. odległość od x do y nigdy nie jest większa od sumy odległości od x do z i od z do y. (tzw. nierówność trójkąta).

Wciąż masz kłopoty ze zrozumieniem? Nie przejmuj się i czytaj dalej. Gwarantuję, że zrozumiesz o co chodzi!

Wszystko zależy od tego jak mierzymy odległości.
Uruchom teraz swoją wyobraźnię. To, co widzisz po lewej stronie to plan miasta. Czarne linie oznaczają ulice, jaśniejsze kwadraty wewnątrz to zabudowania, a czerwony punkcik, to miejsce postoju mojej taksówki. — Tak, jestem taksówkarzem.

Ulice w tym mieście, zarówno te łączące północ z południem jak i te ze wschodu na zachód, poprowadzono co 100 metrów. Wynika stąd, że z mojego postoju do najbliższych skrzyżowań (ile ich jest?) odległość wynosi właśnie 100 m. Za przejechanie 100 m. biorę 1 zł opłaty. Dużo?

Pewnego dnia zjawił się na postoju klient i oświadczył:
— Mam 10 zł. Czy mógłbym się z panem przejechać?
— Tak — odpowiedziałem. — Proszę wsiadać.
Otwarłem drzwi i wskazałem mu miejsce obok siebie
— Za dziesięć złotych przejedzie pan kilometr — poinformowałem.
— To znaczy, gdzie mogę dojechać — zapytał.
Zaznaczyłem na planie niebieski punkcik
— Na przykład tutaj — odpowiedziałem
— Tylko na północ? — usłyszałem.
— Przecież mówiłem „na przykład” — odparłem nieco zdenerwowany.
Mój klient zaczął niecierpliwie wiercić się na siedzieniu. Czyżby chciał zrezygnować z kursu? Na to nie mogłem pozwolić
— Pozwoli pan — powiedziałem i wziąłem od niego plan. Zaznaczyłem trzy dodatkowe punkty (na zachodzie, wschodzie i południu) odległe o 1 km od postoju.
— Czy to już wszystkie miejsca, do których może mnie pan zawieźć za 10 zł? — znów usłyszałem to samo pytanie.
— Nie, nie wszystkie — zripostowałem ze złością. — Za 10 zł może pan przejechać 1 km, to znaczy na przyład pół kilometra na wschód i pół kilometra na północ — kontynuowałem, rysując właściwą trasę.
Gdy skończyłem, wziął plan, oparł go na szybie i zaczął coś na nim kreślić
— To znaczy, że możemy także pojechać 300 m na zachód i 700 m na południe — powiedział z przekąsem.
Ten gość zaczynał mnie już doprowadzać do prawdziwej pasji.
Wyciągnąłem ze schowka nowiuteńki plan (chyba kosztował więcej niż 10 zł!) i zacząłem nanosić wszystkie punkty odległe od mojego postoju o 1 km. Facet przypatrywał się temu z zaciekawieniem, co jeszcze bardziej doprowadzało mnie do furii.
— Masz tu pan wszystkie miejsca, do których dojedziesz za swoją marną dychę — krzyknąłem zdenerwowany, wręczając mu plan.
Mój pasażer uśmiechał się tajemniczo.
— Czy pan wie, że narysował punkty należące do okręgu? — zapytał, łącząc jednocześnie grubszą linią narysowane przeze mnie punkciki.
— Jak to okręgu? — krzyknąłem zdziwiony. — Przecież okrąg wygląda całkiem inaczej! Wiem, bo uczyłem się tego w szkole! — ciągnąłem podniesionym tonem.
— Drogi panie — przerwał mi. — Uczył się więc pan zapewne — kontynuował spokojnie lecz z naciskiem — że okrąg, to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, jednakowo oddalonych od ustalonego punktu zwanego środkiem okręgu.
— Tak, tak! — potwierdziłem. — Przypominam sobie taką definicję.
— No widzi pan — znów mi przerwał. — Pan właśnie zaznaczył, a ja połączyłem i pogrubiłem wszystkiem punkty oddalone o 1 km od postoju, który teraz można nazwać środkiem tego dziwnego, ale przecież okręgu.

* * *

To już chyba wszystko, co miałem Wam do powiedzenia. Acha, jeszcze jedno. Całkiem dobrze wyszedłem na tej rozmowie z nieznajomym pasażerem: przez dwie następne godziny jeździliśmy po naszym mieście rozmawiając o różnych matematycznych ciekawostkach. Sporo zarobiłem i na dodatek poznałem wiele pasjonujących opowiadań.

Wasz taksówkarz

1. Pasjonatom dociekań matematycznych pozostawiam uzasadnienie tego, że sposób mierzenia odległości przedstawiony w opowiadaniu taksówkarza jest odległością w sensie matematyki.
2. Ciekawskim powiem, że sposób mierzenia odległości przez taksówkarza nazywa się metryką taksówkową, a przestrzenie geometryczne (np. płaszyzna), w których wiadomo jak mierzyć odległości, noszą nazwę przestrzeni metrycznych.

(I-net, 7 sierpnia 1997)